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新版初一數學一元一次方程的應用

時間:2020-02-13 10:28:41本文內容及圖片來源于讀者投稿,如有侵權請聯系[email protected] 慧良 我要投稿

  初一數學的核心知識點是一元一次方程,所以新初一的學生可以趁著這個暑期把這部分內容預習好,小編在這里整理了相關資料,希望能幫助到您。

  1.列一元一次方程解應用題的一般步驟

  (1)審題:弄清題意.(2)找出等量關系:找出能夠表示本題含義的相等關系.(3)設出未知數,列出方程:設出未知數后,表示出有關的含字母的式子,然后利用已找出的等量關系列出方程.(4)解方程:解所列的方程,求出未知數的值.(5)檢驗,寫答案:檢驗所求出的未知數的值是否是方程的解,是否符合實際,檢驗后寫出答案.

  2.和差倍分問題

  增長量=原有量×增長率 現在量=原有量+增長量

  3.等積變形問題

  常見幾何圖形的面積、體積、周長計算公式,依據形雖變,但體積不變.

  ①圓柱體的體積公式 V=底面積×高=S·h=πr2h

  ②長方體的體積 V=長×寬×高=abc

  4.數字問題

  一般可設個位數字為a,十位數字為b,百位數字為c.

  十位數可表示為10b+a, 百位數可表示為100c+10b+a.

  然后抓住數字間或新數、原數之間的關系找等量關系列方程.

  5.市場經濟問題

  (1)商品利潤=商品售價-商品成本價 (2)商品利潤率=商品利潤/商品成本價×100%

  (3)商品銷售額=商品銷售價×商品銷售量

  (4)商品的銷售利潤=(銷售價-成本價)×銷售量

  (5)商品打幾折出售,就是按原標價的百分之幾十出售,如商品打8折出售,即按原標價的80%出售.

  6.行程問題:路程=速度×時間 時間=路程÷速度 速度=路程÷時間

  (1)相遇問題: 快行距+慢行距=原距

  (2)追及問題: 快行距-慢行距=原距

  (3)航行問題:順水(風)速度=靜水(風)速度+水流(風)速度

  逆水(風)速度=靜水(風)速度-水流(風)速度

  抓住兩碼頭間距離不變,水流速和船速(靜不速)不變的特點考慮相等關系.

  7.工程問題:工作量=工作效率×工作時間

  完成某項任務的各工作量的和=總工作量=1

  8.儲蓄問題

  利潤=每個期數內的利息/本金×100% 利息=本金×利率×期數

  習題:

  1.將一批工業最新動態信息輸入管理儲存網絡,甲獨做需6小時,乙獨做需4小時,甲先做30分鐘,然后甲、乙一起做,則甲、乙一起做還需多少小時才能完成工作?

  解:設甲、乙一起做還需x小時才能完成工作.

  根據題意,得

  1/6×1/2+(1/6+1/4)x=1

  解這個方程,得x=11/5

  11/5小時=2小時12分

  答:甲、乙一起做還需2小時12分才能完成工作.

  2.兄弟二人今年分別為15歲和9歲,多少年后兄的年齡是弟的年齡的2倍?

  解:設x年后,兄的年齡是弟的年齡的2倍,

  則x年后兄的年齡是15+x,弟的年齡是9+x.

  由題意,得2×(9+x)=15+x

  18+2x=15+x,2x-x=15-18

  ∴x=-3

  答:3年前兄的年齡是弟的年齡的2倍.

  (點撥:-3年的意義,并不是沒有意義,而是指以今年為起點前的3年,是與3年后具有相反意義的量)

  3.將一個裝滿水的內部長、寬、高分別為300毫米,300毫米和80毫米的長方體鐵盒中的水,倒入一個內徑為200毫米的圓柱形水桶中,正好倒滿,求圓柱形水桶的高(精確到0.1毫米,π≈3.14).

  解:設圓柱形水桶的高為x毫米,依題意,得

  π·(200/2)2x=300×300×80

  x≈229.3

  答:圓柱形水桶的高約為229.3毫米.

  4.有一火車以每分鐘600米的速度要過完第一、第二兩座鐵橋,過第二鐵橋比過第一鐵橋需多5秒,又知第二鐵橋的長度比第一鐵橋長度的2倍短50米,試求各鐵橋的長.

  .解:設第一鐵橋的長為x米,那么第二鐵橋的長為(2x-50)米,過完第一鐵橋所需的時間為x/600分.

  過完第二鐵橋所需的時間為2x-50/600分.

  依題意,可列出方程

  x/600 + 5/60 = 2x-50/600

  解方程x+50=2x-50

  得x=100

  ∴2x-50=2×100-50=150

  答:第一鐵橋長100米,第二鐵橋長150米。

  5.有某種三色冰淇淋50克,咖啡色、紅色和白色配料的比是2:3:5,這種三色冰淇淋中咖啡色、紅色和白色配料分別是多少克?

  解:設這種三色冰淇淋中咖啡色配料為2x克,

  那么紅色和白色配料分別為3x克和5x克.

  根據題意,得2x+3x+5x=50

  解這個方程,得x=5

  于是2x=10,3x=15,5x=25

  答:這種三色冰淇淋中咖啡色、紅色和白色配料分別是10克,15克和25克.

  6.某車間有16名工人,每人每天可加工甲種零件5個或乙種零件4個.在這16名工人中,一部分人加工甲種零件,其余的加工乙種零件.已知每加工一個甲種零件可獲利16元,每加工一個乙種零件可獲利24元.若此車間一共獲利1440元,求這一天有幾個工人加工甲種零件.

  解:設這一天有x名工人加工甲種零件,

  則這天加工甲種零件有5x個,乙種零件有4(16-x)個.

  根據題意,得16×5x+24×4(16-x)=1440

  解得x=6

  答:這一天有6名工人加工甲種零件.

  7.某地區居民生活用電基本價格為每千瓦時0.40元,若每月用電量超過a千瓦時,則超過部分按基本電價的70%收費.

  (1)某戶八月份用電84千瓦時,共交電費30.72元,求a.

  (2)若該用戶九月份的平均電費為0.36元,則九月份共用電多少千瓦?應交電費是多少元?

  解:(1)由題意,得

  0.4a+(84-a)×0.40×70%=30.72

  解得a=60

  (2)設九月份共用電x千瓦時,則

  0.40×60+(x-60)×0.40×70%=0.36x

  解得x=90

  所以0.36×90=32.40(元)

  答:九月份共用電90千瓦時,應交電費32.40元.

  8.某家電商場計劃用9萬元從生產廠家購進50臺電視機.已知該廠家生產3種不同型號的電視機,出廠價分別為A種每臺1500元,B種每臺2100元,C種每臺2500元.

  (1)若家電商場同時購進兩種不同型號的電視機共50臺,用去9萬元,請你研究一下商場的進貨方案.

  (2)若商場銷售一臺A種電視機可獲利150元,銷售一臺B種電視機可獲利200元,銷售一臺C種電視機可獲利250元,在同時購進兩種不同型號的電視機方案中,為了使銷售時獲利最多,你選擇哪種方案?

  解:按購A,B兩種,B,C兩種,A,C兩種電視機這三種方案分別計算,

  設購A種電視機x臺,則B種電視機y臺.

  (1)①當選購A,B兩種電視機時,B種電視機購(50-x)臺,可得方程

  1500x+2100(50-x)=90000

  即5x+7(50-x)=300

  2x=50

  x=25

  50-x=25

  ②當選購A,C兩種電視機時,C種電視機購(50-x)臺,

  可得方程1500x+2500(50-x)=90000

  3x+5(50-x)=1800

  x=35

  50-x=15

  ③當購B,C兩種電視機時,C種電視機為(50-y)臺.

  可得方程2100y+2500(50-y)=90000

  21y+25(50-y)=900,4y=350,不合題意

  由此可選擇兩種方案:一是購A,B兩種電視機25臺;二是購A種電視機35臺,C種電視機15臺.

  (2)若選擇(1)中的方案①,可獲利

  150×25+250×15=8750(元)

  若選擇(1)中的方案②,可獲利

  150×35+250×15=9000(元)

  9000>8750 故為了獲利最多,選擇第二種方案.

  一元一次方程應用題是初一數學學習的重點,也是一個難點。主要困難體現在兩個方面:一是難以從實際問題中找出相等關系,列出相應的方程;二是對數量關系稍復雜的方程,常常理不清楚基本量,也不知道如何用含未知數的式子來表示出這些基本量的相等關系,導致解題時無從下手。

  事實上,方程就是一個含未知數的等式。列方程解應用題,就是要將實際問題中的一些數量關系用這種含有未知數的等式的形式表示出來。而在這種等式中的每個式子又都有自身的實際意義,它們分別表示題設中某一相應過程的數量大小或數量關系。由此,解方程應用題的關鍵就是要“抓住基本量,找出相等關系”。

  一、 列方程解應用題的步驟:

  ⑴審題:理解題意。1、弄清題目中的對象,找出題目中代表著對象之間關系的句子和詞;2、弄清題目中有什么,要我們干什么,找出有什么(已知)和干什么(未知)之間的關系;

  從應用題來看一個題一般存在這兩個以上的關系,這兩關系一是題目中給出,二是題目中只給出一個,另一個關系是我們日常生活中常用到的一些等量關系(例如:路程=速度×時間等)所以解應用題關鍵是找出題目的等量關系,先就要長到代表等量關系的句子和詞語(如:誰比誰多,誰比誰少,誰是誰的幾倍,誰是誰的幾分之幾等)。解題時常用橫線畫出代表等量關系的句子和詞語。

  ⑵設元(未知數)。①直接未知數:題目中問什么設什么;②間接未知數:先通過設未知數求出與與問題相關的量,然后再通過一些關系求出題目中的問題。(往往二者兼用)。一般來說,未知數越多,方程越易列,但越難解。但一元一次方程一般都只設一個未知數列一個方程。

  ⑶用含未知數的代數式表示相關的量。

  ⑷列方程:尋找相等關系(有的由題目給出,有的由該問題所涉及的等量關系給出),列方程。一般地,未知數個數與方程個數是相同的。

  ⑸解方程(6)檢驗:一是檢驗是否使方程有意義,例如分母不為0等;二是檢驗是否使實際實際問題有意義(如;2/3個人等)。

  (7)答題:回答出題目所問。

  二、常見的常識性等量關系及關鍵詞語

  (1)和、差、倍、分問題。

  (2) 此問題中常用“多、少、大、小、幾分之幾”或“增加、減少、縮小”等等詞語體現等量關系。審題時要抓住關鍵詞,確定標準量與比校量,并注意每個詞的細微差別。

  (2)等積變形問題。

  此類問題的關鍵在“等積”上,是等量關系的所在,必須掌握常見幾何圖形的面積、體積公式。“等積變形”是以形狀改變而體積不變為前提。常用等量關系為:

  ①形狀面積變了,周長沒變;②原料體積=成品體積。

  (3)調配問題。

  從調配后的數量關系中找等量關系,常見是“和、差、倍、分”關系,要注意調配對象流動的方向和數量。這類問題要搞清人數的變化,常見題型有:

  ①既有調入又有調出;

  ②只有調入沒有調出,調入部分變化,其余不變;③只有調出沒有調入,調出部分變化,其余不變。調配與比例問題在日常生活中十分常見,比如合理安排工人生產,按比例選取工程材料,調劑人數或貨物等。調配問題中關鍵是要認識清楚部分量、總量以及兩者之間的關系。在調配問題中主要考慮“總量不變”;而在比例問題中則主要考慮總量與部分量之間的關系,或是量與量之間的比例關系。

  例14.甲、乙兩書架各有若干本書,如果從乙架拿100本放到甲架上,那么甲架上的書比乙架上所剩的書多5倍,如果從甲架上拿100本書放到乙架上,兩架所有書相等。問原來每架上各有多少書?

  講評:本題難點是正確設未知數,并用含未知數的代數式將另一書架上書的本數表示出來。在調配問題中,調配后數量相等,即將原來多的一方多出的數量進行平分。由題設中“從甲書架拿100本書到乙書架,兩架書相等”,可知甲書架原有的書比乙書架上原有的書多200本。故設乙架原有x本書,則甲架原有(x+200)本書。從乙架拿100本放到甲架上,乙架剩下的書為(x-100)本,甲架書變為(x+200)+100本。又甲架的書比乙架多5倍,即是乙架的六倍,有 (x+200)+100=6(x-100) ∴x=180 x+200=380

  例15.教室內共有燈管和吊扇總數為13個。已知每條拉線管3個燈管或2個吊扇,共有這樣的拉線5條,求室內燈管有多少個?

  講評:這是一道對開關拉線的分配問題。設燈管有x支,則吊扇有(13-x)個,燈管拉線為x/3條,吊扇拉線為13-x/2條,依題意“共有5條拉線”,有x/3 + 13-x/2=5 ∴x=9

  例16.某車間22名工人參加生產一種螺母和螺絲。每人每天平均生產螺絲120個或螺母200個,一個螺絲要配兩個螺母,應分配多少名工人生產螺絲,多少名工人生產螺母,才能使每天生產的產品剛好配套?

  講評:產品配套(工人調配)問題,要根據產品的配套關系(比例關系)正確地找到它們間得數量關系,并依此作相等關系列出方程。本題中,設有x名工人生產螺母,生產螺母的個數為200x個,則有(22-x)人生產螺絲,生產螺絲的個數為120(22-x)個。由“一個螺絲要配兩個螺母”即“螺母的個數是螺絲個數的2倍”,有 200x=2×120(22-x)

  ∴x=12 22-x=10

  例17. 地板磚廠的坯料由白土、沙土、石膏、水按25∶2∶1∶6的比例配制攪拌而成。現已將前三種料稱好,公5600千克,應加多少千克的水攪拌?前三種料各稱了多少千克?

  講評:解決比例問題的一般方法是:按比例設未知數,并根據題設中的相等關系列出方程進行求解。本題中,由四種坯料比例25∶2∶1∶6,設四種坯料分別為25x、2x、x、6x千克,由前三種坯料共5600千克,有 25x+2x+x=5600

  ∴ x=200 25x=5000 2x=400 x=200 6x=1200

  例18. 蘋果若干個分給小朋友,每人m個余14個,每人9個,則最后一人得6個。問小朋友有幾人?

  講評:這是一個分配問題。設小朋友x人,每人分m個蘋果余14個,蘋果總數為mx+14,每人9個蘋果最后一人6個,則蘋果總數為9(x-1)+6。蘋果總數不變,有

  mx+14=9(x-1)+6 ∴x=17/9-m∵x、m均為整數 ∴9-m=1

  x=17

  例19. 出口1噸豬肉可以換5噸鋼材,7噸豬肉價格與4噸砂糖的價格相等,現有288噸砂糖,把這些砂糖出口,可換回多少噸鋼材?

  講評:本題可轉換成一個比例問題。由豬肉∶鋼材=1∶5,豬肉∶砂糖=7∶4,得豬肉∶鋼材∶砂糖=7∶35∶4,設可換回鋼材x噸,則有 x∶288=35∶4 ∴x=2620

  7.需設中間(間接)未知數求解的問題

  一些應用題中,設直接未知數很難列出方程求解,而根據題中條件設間接未知數,卻較容易列出方程,再通過中間未知數求出結果。

  例20.甲、乙、丙、丁四個數的和是43,甲數的2倍加8,乙數的3倍,丙數的4倍,丁數的5倍減去4,得到的4個數卻相等。求甲、乙、丙、丁四個數。

  講評:本題中要求4個量,在后面可用方程組求解。若用一元一次方程求解,如果設某個數為未知數,其余的數用未知數表示很麻煩。這里由甲、乙、丙、丁變化后得到的數相等,故設這個相等的數為x,則甲數為x-8/2,乙數為x/3,丙數為x/4,丁數為x+4/5,由四個數的和是43,有 x-8/2 + x/3 + x/4+x + 4/5 = 43 ∴x = 36

  ∴ x-8/2=14 x/3=12 x/4=9 x+4/5=8

  例21.某縣中學生足球聯賽共賽10輪(即每隊均需比賽10場),其中勝1場得3分,平1場得1分,負1場得0分。向明中學足球隊在這次聯賽中所負場數比平場數少3場,結果公得19分。向明中學在這次聯賽中勝了多少場?

  講評:本題中若直接將勝的場次設為未知數,無法用未知數的式子表示出負的場數和平的場數,但設平或負的場數,則可表示出勝的場數。故設平_場,則負x-3場,勝10-(x+x-3)場,依題意有 3[10-(x+x-3)]+x=19 ∴x=4 ∴ 10-(x+x-3)= 5

  (4)行程問題。

  要掌握行程中的基本關系:路程=速度×時間。

  相遇問題(相向而行),這類問題的相等關系是:各人走路之和等于總路程或同時走時兩人所走的時間相等為等量關系。甲走的路程+乙走的路程=全路程

  追及問題(同向而行),這類問題的等量關系是:兩人的路程差等于追及的路程或以追及時間為等量關系。

  ① 同時不同地:甲的時間=乙的時間 甲走的路程-乙走的路程=原來甲、乙相距的路程

  ② 同地不同時;甲的時間=乙的時間-時間差 甲的路程=乙的路程

  環形跑道上的相遇和追及問題:同地反向而行的等量關系是兩人走的路程和等于一圈的路程;同地同向而行的等量關系是兩人所走的路程差等于一圈的路程。

  船(飛機)航行問題:相對運動的合速度關系是:

  順水(風)速度=靜水(無風)中速度+水(風)流速度;逆水(風)速度=靜水(無風)中速度-水(風)流速度。

  車上(離)橋問題:

  ①車上橋指車頭接觸橋到車尾接觸橋的一段過程,所走路程為一個車長。

  ②車離橋指車頭離開橋到車尾離開橋的一段路程。所走的路程為一個成長

  ③車過橋指車頭接觸橋到車尾離開橋的一段路程,所走路成為一個車長+橋長

  ④車在橋上指車尾接觸橋到車頭離開橋的一段路程,所行路成為橋長-車長

  行程問題可以采用畫示意圖的輔助手段來幫助理解題意,并注意兩者運動時出發的時間和地點。

  尋找的相等關系有:路程關系、時間關系、速度關系。在不同的問題中,相等關系是靈活多變的。如相遇問題中多以路程作相等關系,而對有先后順序的問題卻通常以時間作相等關系,在航行問題中很多時候還用速度作相等關系。

  例1.某隊伍450米長,以每分鐘90米速度前進,某人從排尾到排頭取東西后,立即返回排尾,速度為3米/秒。問往返共需多少時間?

  講評:這一問題實際上分為兩個過程:①從排尾到排頭的過程是一個追及過程,相當于最后一個人追上最前面的人;②從排頭回到排尾的過程則是一個相遇過程,相當于從排頭走到與排尾的人相遇。

  在追及過程中,設追及的時間為x秒,隊伍行進(即排頭)速度為90米/分=1.5米/秒,則排頭行駛的路程為1.5x米;追及者的速度為3米/秒,則追及者行駛的路程為3x米。由追及問題中的相等關系“追趕者的路程-被追者的路程=原來相隔的路程”,有:

  3x-1.5x=450 ∴x=300

  在相遇過程中,設相遇的時間為y秒,隊伍和返回的人速度未變,故排尾人行駛的路程為1.5y米,返回者行駛的路程為3y米,由相遇問題中的相等關系“甲行駛的路程+乙行駛的路程=總路程”有: 3y+1.5y=450 ∴y=100

  故往返共需的時間為 x+y=300+100=400(秒)

  例2 汽車從A地到B地,若每小時行駛40km,就要晚到半小時:若每小時行駛45km,就可以早到半小時。求A、B 兩地的距離。

  講評:先出發后到、后出發先到、快者要早到慢者要晚到等問題,我們通常都稱其為“先后問題”。在這類問題中主要考慮時間量,考察兩者的時間關系,從相隔的時間上找出相等關系。本題中,設A、B兩地的路程為x km,速度為40 km/小時,則時間為x/40小時;速度為45 km/小時,則時間為x/45小時,又早到與晚到之間相隔1小時,故有

  x/40-x/45 = 1 ∴ x = 360

  例3 一艘輪船在甲、乙兩地之間行駛,順流航行需6小時,逆流航行需8小時,已知水流速度每小時2 km。求甲、乙兩地之間的距離。

  講評:設甲、乙兩地之間的距離為x km,則順流速度為x/6km/小時,逆流速度為x/8km/小時,由航行問題中的重要等量關系有:

  x/6-2= x/8 +2 ∴ x = 96

  (5)工程問題。

  其基本數量關系:工作總量=工作效率×工作時間;合做的效率=各單獨做的效率的和。當工作總量未給出具體數量時,常設總工作量為“1”,分析時可采用列表或畫圖來幫助理解題意。

  工程問題中,一般常將全部工作量看作整體1,如果完成全部工作的時間為t,則工作效率為。常見的相等關系有兩種:①如果以工作量作相等關系,部分工作量之和=總工作量。②如果以時間作相等關系,完成同一工作的時間差=多用的時間。

  在工程問題中,還要注意有些問題中工作量給出了明確的數量,這時不能看作整體1,此時工作效率也即工作速度。

  例4. 加工某種工件,甲單獨作要20天完成,乙只要10就能完成任務,現在要求二人在12天內完成任務。問乙需工作幾天后甲再繼續加工才可正好按期完成任務?

  講評:將全部任務的工作量看作整體1,由甲、乙單獨完成的時間可知,甲的工作效率為1/20,乙的工作效率為1/10,設乙需工作x 天,則甲再繼續加工(12-x)天,乙完成的工作量為x/10,甲完成的工作量為,依題意有 x/10 + 12-x/20 = 1 ∴x =8

  例5. 收割一塊麥地,每小時割4畝,預計若干小時割完。收割了2/3后,改用新式農具收割,工作效率提高到原來的1.5倍。因此比預計時間提前1小時完工。求這塊麥地有多少畝?

  講評:設麥地有x畝,即總工作量為x畝,改用新式工具前工作效率為4畝/小時,割完x畝預計時間為x/4小時,收割2/3x畝工作時間為2/3x/4=小時;改用新式工具后,工作效率為1.5×4=6畝/小時,割完剩下1/3x畝時間為1/3x /6 = x/18 小時,則實際用的時間為(x/6+ x/18)小時,依題意“比預計時間提前1小時完工”有

  x/4-(x/6+x/18)=1 ∴ x =36

  例6. 一水池裝有甲、乙、丙三個水管,加、乙是進水管,丙是排水管,甲單獨開需10小時注滿一池水,乙單獨開需6小時注滿一池水,丙單獨開15小時放完一池水。現在三管齊開,需多少時間注滿水池?

  講評:由題設可知,甲、乙、丙工作效率分別為1/10、1/6、-1/15(進水管工作效率看作正數,排水管效率則記為負數),設x小時可注滿水池,則甲、乙、丙的工作量分別為x/10,x/6、-x/15,由三水管完成整體工作量1,有 x/10 +x/6 - x/15 = 1 ∴ x = 5

  (6)溶液(混合物)問題

  溶液(混合物)問題有四個基本量:溶質(純凈物)、溶劑(雜質)、溶液(混合物)、濃度(含量)。其關系式為:①溶液=溶質+溶劑(混合物=純凈物+雜質);②濃度=溶質/溶液×100%=溶質/溶質+溶劑×100%【純度(含量)=純凈物/混合物×100%=純凈物/純凈物+雜×100%】;③由①②可得到:溶質=濃度×溶液=濃度×(溶質+溶劑)。在溶液問題中關鍵量是“溶質”:“溶質不變”,混合前溶質總量等于混合后的溶質量,是很多方程應用題中的主要等量關系。

  例11.把1000克濃度為80%的酒精配成濃度為60%的酒精,某同學未經考慮先加了300克水。⑴試通過計算說明該同學加水是否過量?⑵如果加水不過量,則應加入濃度為20%的酒精多少克?如果加水過量,則需再加入濃度為95%的酒精多少克?

  講評:溶液問題中濃度的變化有稀釋(通過加溶劑或濃度低的溶液,將濃度高的溶液的濃度降低)、濃化(通過蒸發溶劑、加溶質、加濃度高的溶液,將低濃度溶液的濃度提高)兩種情況。在濃度變化過程中主要要抓住溶質、溶劑兩個關鍵量,并結合有關公式進行分析,就不難找到相等關系,從而列出方程。

  本題中,⑴加水前,原溶液1000克,濃度為80%,溶質(純酒精)為1000×80%克;設加x克水后,濃度為60%,此時溶液變為(1000+x)克,則溶質(純酒精)為(1000+x)×60%克。由加水前后溶質未變,有(1000+x)×60%=1000×80%

  ∴x = 1000/3>300 ∴該同學加水未過量。

  ⑵設應加入濃度為20%的酒精y克,此時總溶液為(1000+300+y)克,濃度為60%,溶質(純酒精)為(1000+300+y)×60%;原兩種溶液的濃度分別為1000×80%、20%y,由混合前后溶質量不變,有(1000+300+y)×60%=1000×80%+20% ∴ y=50

  (7)經濟問題

  與生活、生產實際相關的經濟類應用題,是近年中考數學創新題中的一個突出類型。經濟類問題主要體現為三大類:①銷售利潤問題、②優惠(促銷)問題、③存貸問題。這三類問題的基本量各不相同,在尋找相等關系時,一定要聯系實際生活情景去思考,才能更好地理解問題的本質,正確列出方程。

  ⑴銷售利潤問題。利潤問題中有四個基本量:成本(進價)、銷售價(收入)、利潤、利潤率。基本關系式有:①利潤=銷售價(收入)-成本(進價)【成本(進價)=銷售價(收入)-利潤】;②利潤率=利潤/成本(進價)【利潤=成本(進價)×利潤率】。在有折扣的銷售問題中,實際銷售價=標價×折扣率。打折問題中常以進價不變作相等關系。

  ⑵優惠(促銷)問題。日常生活中有很多促銷活動,不同的購物(消費)方式可以得到不同的優惠。這類問題中,一般從“什么情況下效果一樣分析起”。并以求得的數值為基準,取一個比它大的數及一個比它小的數進行檢驗,預測其變化趨勢。

  ⑶存貸問題。存貸問題與日常生活密切相關,也是中考命題時最好選取的問題情景之一。存貸問題中有本金、利息、利息稅三個基本量,還有與之相關的利率、本息和、稅率等量。其關系式有:①利息=本金×利率×期數;(注意利率有日利率、月利率和年利率,年利率=月利率×12=日利率×365。)②利息稅=利息×稅率;③本息和(本利)=本金+利息-利息稅。

  例7.某商店先在廣州以每件15元的價格購進某種商品10件,后來又到深圳以每件12.5元的價格購進同樣商品40件。如果商店銷售這種商品時,要獲利12%,那么這種商品的銷售價應定多少?

  講評:設銷售價每件x 元,銷售收入則為(10+40)x元,而成本(進價)為(5×10+40×12.5),利潤率為12%,利潤為(5×10+40×12.5)×12%。由關系式①有

  (10+40)x-(5×10+40×12.5)=(5×10+40×12.5)×12% ∴x=14.56

  例8.某種商品因換季準備打折出售,如果按定價七五折出售,則賠25元,而按定價的九折出售將賺20元。問這種商品的定價是多少?

  講評:設定價為x元,七五折售價為75%x,利潤為-25元,進價則為75%x-(-25)=75%x+25;九折銷售售價為90%x,利潤為20元,進價為90%x-20。由進價一定,有

  75%x+25=90%x-20 ∴ x = 300

  例9. 李勇同學假期打工收入了一筆工資,他立即存入銀行,存期為半年。整存整取,年利息為2.16%。取款時扣除20%利息稅。李勇同學共得到本利504.32元。問半年前李勇同學共存入多少元?

  講評:本題中要求的未知數是本金。設存入的本金為x元,由年利率為2.16%,期數為0.5年,則利息為0.5×2.16%x,利息稅為20%×0.5×2.16%x,由存貸問題中關系式③有 x +0.5×2.16%x-20%×0.5×2.16%x=504.32 ∴ x = 500

  例10.某服裝商店出售一種優惠購物卡,花200元買這種卡后,憑卡可在這家商店8折購物,什么情況下買卡購物合算?

  講評:購物優惠先考慮“什么情況下情況一樣”。設購物x元買卡與不買卡效果一樣,買卡花費金額為(200+80%x)元,不買卡花費金額為x元,故有

  200+80%x = x ∴ x = 1000

  當x >1000時,如x=2000 買卡消費的花費為:200+80%×2000=1800(元)

  不買卡花費為:2000(元 ) 此時買卡購物合算。

  當x <1000時,如x=800 買卡消費的花費為:200+80%×800=840(元)

  不買卡花費為:800(元) 此時買卡不合算。

  (8)數字問題。

  要正確區分“數”與“數字”兩個概念,這類問題通常采用間接設法,常見的解題思路分析是抓住數字間或新數、原數之間的關系尋找等量關系。列方程的前提還必須正確地表示多位數的代數式,一個多位數是各位上數字與該位計數單位的積之和。數字問題是常見的數學問題。一元一次方程應用題中的數字問題多是整數,要注意數位、數位上的數字、數值三者間的關系:任何數=∑(數位上的數字×位權),如兩位數

 

  =10a+b;三位數

 

  =100a+10b+c。在求解數字問題時要注意整體設元思想的運用。

  例12. 一個三位數,三個數位上的和是17,百位上的數比十位上的數大7,個位上的數是十位上的數的3倍。求這個數。

  講評:設這個數十位上的數字為x,則個位上的數字為3x,百位上的數字為(x+7),這個三位數則為100(x+7)+10x+3x。依題意有(x+7)+x+3x=17 ∴x=2

  ∴100(x+7)+10x+3x=900+20+6=926

  例13. 一個六位數的最高位上的數字是1,如果把這個數字移到個位數的右邊,那么所得的數等于原數的3倍,求原數。

  講評:這個六位數最高位上的數移到個位后,后五位數則相應整體前移1位,即每個數位上的數字被擴大10倍,可將后五位數看成一個整體設未知數。設除去最高位上數字1后的5位數為x,則原數為10+x,移動后的數為10x+1,依題意有 10x+1=10+x

  ∴x = 42857 則原數為142857

  (9)年齡問題其基本數量關系: 大小兩個年齡差不會變。

  這類問題主要尋找的等量關系是:抓住年齡增長,一年一歲,人人平等。

  (10)比例分配問題:

  這類問題的一般思路為:設其中一份為x,利用已知的比,寫出相應的代數式。常用等量關系:各部分之和=總量。

  (11).設而不求(設中間參數)的問題

  一些應用題中,所給出的已知條件不夠滿足基本量關系式的需要,而且其中某些量不需要求解。這時,我們可以通過設出這個量,并將其看成已知條件,然后在計算中消去。這將有利于我們對問題本質的理解。

  例22.一艘輪船從重慶到上海要5晝夜,從上海駛向重慶要7晝夜,問從重慶放竹牌到上海要幾晝夜?(竹排的速度為水的流速)

  分析:航行問題要抓住路程、速度、時間三個基本量,一般有兩種已知量才能求出第三種未知量。本題中已知時間量,所求也是時間量,故需在路程和速度兩個量中設一個中間參數才能列出方程。本題中考慮到路程量不變,故設兩地路程為a公里,則順水速度為a/5,逆水速度為a/7,設水流速度為x,有a/5-x=a/7+x ∴x=a/35,又設竹排從重慶到上海的時間為y晝夜,有 a/35·x=a ∴x=35

  例23. 某校兩名教師帶若干名學生去旅游,聯系兩家標價相同的旅行社,經洽談后,甲旅行社的優惠條件是:1名教師全部收費,其余7.5折收費;乙旅行社的優惠條件是:全部師生8折優惠。

  ⑴當學生人數等于多少人時,甲旅行社與乙旅行社收費價格一樣?

  ⑵若核算結果,甲旅行社的優惠價相對乙旅行社的優惠價要便宜,問學生人數是多少?

  講評:在本題中兩家旅行社的標價和學生人數都是未知量,又都是列方程時不可少的基本量,但標價不需求解。⑴中設標價為a元,學生人數x人,甲旅行社的收費為a+0.75a(x+1)元,乙旅行社收費為0.8a(x+2)元,有 a+0.75a(x+1)=0.8a(x+2) ∴ x=3

  ⑵設學生人數為y 人,甲旅行社收費為a+0.75a(y+1)元,乙旅行社收費為0.8a(y+2)元,有0.8a(y+2)-[a+0.75a(y+1)]= ×0.8a(y+2)

  ∴y=8。


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